已知函数(其中,e是自然对数的底数).
(Ⅰ)若,试判断函数在区间上的单调性;
(Ⅱ)若函数有两个极值点,(),求k的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试证明.
(Ⅰ)在区间上是单调递减函数;(Ⅱ)k的取值范围是;(Ⅲ)详见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)将代入求导,根据其符号即可得其单调性;(Ⅱ)函数有两个极值点,,则,是的两个根,即方程有两个根.接下来就研究函数图象特征,结合图象便可知取何值时,方程有两个根.
(Ⅲ)结合图象可知,函数的两个极值点,满足.
,这里面有两个变量,那么能否换掉一个呢?
由,得,利用这个关系式便可将换掉而只留:
,这样根据的范围,便可得,从而使问题得证.
试题解析:(Ⅰ)若,,则,
当时,,
故函数在区间上是单调递减函数. 4分
(Ⅱ)函数有两个极值点,,则,是的两个根,
即方程有两个根,设,则,
当时,,函数单调递增且;
当时,,函数单调递增且;
当时,,函数单调递减且.
要使有两个根,只需,
故实数k的取值范围是. 9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)的解法可知,函数的两个极值点,满足, 10分
由,得,
所以,
由于,故,
所以. 14分
考点:1、导数的应用;2、不等关系.
科目:高中数学 来源: 题型:
lnx |
x |
1 |
2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
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科目:高中数学 来源: 题型:
f(e)-f(1) | e-1 |
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年四川资阳高中高三上学期第二次诊断考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数(其中,e是自然对数的底数).
(Ⅰ)若,试判断函数在区间上的单调性;
(Ⅱ)若,当时,试比较与2的大小;
(Ⅲ)若函数有两个极值点,(),求k的取值范围,并证明.
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