Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，
PA=PD，且PD与底面ABCD所成的角为45°，
（Ⅰ）求证：PA⊥平面PDC；
（Ⅱ）已知E为棱AB的中点，问在棱PD上是否存在一点Q，使EQ∥平面PBC？若存在，写出点Q的位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先由条件证明故有CD⊥面PAD，可得 CD⊥PA．取AD的中点为O，则PO⊥AD．再证∠PDO=45°，为PD与底面ABCD所成的角，可得△PAD为
等腰直角三角形，故有PA⊥AD．利用直线和平面垂直的判定定理证得 PA⊥平面PDC．
（2）存在，当点Q为PD中点时，EQ∥平面PBC．取PC中点为F，证明QF和BE平行且相等，故BEQF为平行四边形，可得QE∥BF．再利用直线和平面
平行的判定定理证得 EQ∥平面PBC．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵平面PAD∩平面ABCD=AD，面PAD⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
故有CD⊥面PAD，∴CD⊥PA．
∵PA=PD，且PD与底面ABCD所成的角为45°，故△PAD为等腰三角形．取AD的中点为O，则PO⊥AD．
由侧面PAD⊥底面ABCD，可得PO⊥平面ABCD，故∠PDO=45°，为PD与底面ABCD所成的角，
故△PAD为等腰直角三角形，故有PA⊥AD．
再由AD∩CD=D，可得PA⊥平面PDC．
（2）存在，当点Q为PD中点时，EQ∥平面PBC．
证明：取PC中点为F，则QF是三角形PCD的中位线，故QF平行且等于

1

2

CD，又  EB平行且等于

1

2

CD，
故QF和BE平行且相等，故BEQF为平行四边形，∴QE∥BF．
而BF?平面PBC，QE不在平面PBC内，故有EQ∥平面PBC．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、直线和平面平行的判定定理的应用，直线和平面所成的角的定义和求法，属于中档题．