Question

已知点F(0，1)，直线l：y=-l，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；
(Ⅱ)已知圆M过定点D(0，2)，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A，B两点，设|DA|=l₁，|DB|=l₂，求的最大值。

Answer 1

解：(Ⅰ)设P（x，y），则Q（x，-1），
∵，
∴ (0，y+l)·(-x，2)=(x，y-1)·(x，-2)，
即2(y+1)=x²-2(y-1)，即x²=4y，
所以动点P的轨迹C的方程x²=4y。
(Ⅱ)设圆M的圆心坐标为M(a，b)，则a²=4b ①，
圆M的半径为，
圆M的方程为(x-a)²+(y-b)²=a²+(b-2)²，
令y=0，则(x-a)²+b²=a²+(b-2)²，
整理得，x²-2ax+4b-4=0， ②
由①，②解得：x=a±2，
不妨设A（a-2，0），B（a+2，0），
∴，
∴，   ③
当a≠0时，由③得
，
当且仅当时，等号成立，
当a=0时，由③，得；
当时，的最大值为。