Question

设函数f（x）=-x³+ax²+a²x+1（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅲ）当a=2时，是否存在函数y=f（x）图象上两点以及函数y=f'（x）图象上两点，使得以这四点为顶点的四边形ABCD满足如下条件：①四边形ABCD是平行四边形；②AB⊥x轴；③|AB|=4．若存在，指出四边形ABCD的个数；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为在该点处的导数，所以只要求导，再求x=2时的导数，再用点斜式求出直线方程．
（Ⅱ）函数f（x）的极大值和极小值是导数等于0时的x的值，所以只要对函数f（x）求导，再令导数等于0，解出x的值，为极值点，再列表判断极值点两侧导数的正负，若左正右负，为极大值，若左负右正，为极小值．
（Ⅲ）先假设存在函数y=f（x）图象上两点以及函数y=f'（x）图象上两点满足条件，再根据这几个条件计算即可．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=-x³+x²+x+1，得f（2）=-1，且f'（x）=-3x²+2x+1，f'（2）=-7．
所以，曲线f（x）=-x³+2x²-x+1在点（2，f（2））处的切线方程是y+1=-7（x-2），
整理得7x+y-13=0．
（Ⅱ）解：f（x）=-x³+ax²+a²x+1，f'（x）=-3x²+2ax+a²=-（3x+a）（x-a）．
令f'（x）=0，解得x=-

a

3

或x=a．
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
（1）若a＞0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x	(-∞，- a 3 )	- a 3	(- a 3 ，a)	a	（a，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函数f（x）在x=-

a

3

处取得极小值f(-

a

3

)，且f(-

a

3

)=1-

5

27

a3；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=1+a³．
（2）若a＜0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x	（-∞，a）	a	(a，- a 3 )	- a 3	(- a 3 ，+∞)
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=1+a³；
函数f（x）在x=

a

3

处取得极大值f(-

a

3

)，且f(-

a

3

)=1-

5

27

a3．
（Ⅲ）若存在满足题意的四边形ABCD，则方程|f（x）-f'（x）|=4至少有两个相异实根，且每个实根对应一条垂直于x轴且与f（x）、f'（x）图象均相交的线段，这些线段长度均相等．f（x）=-x³+2x²+4x+1，f'（x）=-3x²+4x+4=-（3x+2）（x-2）|f（x）-f'（x）|=|-x³+2x²+4x+1-（-3x²+4x+4）|=|x³-5x²+3|=4
\o\ac(○，1)x³-5x²+3=4时，x³-5x²-1=0，令g（x）=x³-5x²-1，g'（x）=3x²-10x
令g'（x）=0，得x=0或x=

10

3

x	（-∞，0）	0	(0， 10 3 )	10 3	( 10 3 ，+∞)
g'（x）	+	0	-	0	+

由表格知，g（0）为g（x）的极大值，g(

10

3

)为g（x）的极大值，而g（0）=-1＜0，g(

10

3

)=-

500

27

-1＜0，故g（x）的图象与x轴有且只有一个交点，g（x）有且只有一个零点．
\o\ac(○，2)x³-5x²+3=-4时，x³-5x²+7=0，令g（x）=x³-5x²+7，g'（x）=3x²-10x，
由\o\ac(○，1)知g（0）为g（x）的极大值，g(

10

3

)为g（x）的极大值，而g（0）=7＞0，g(

10

3

)=-

500

27

+7＜0，故g（x）的图象与x轴有三个交点，g（x）有三个零点．
由\o\ac(○，1)\o\ac(○，2)知，方程|x³-5x²+3|=4有四个不同的实根，从小到大依次记为x₁、x₂、x₃、x₄，这四个根对应的四条线段中的每两条对应一个平行四边形ABCD，共有（x₁、x₂），（x₁、x₃），（x₁、x₄），（x₂、x₃），（x₂、x₄），（x₃、x₄）6个，所以满足题意的平行四边形ABCD有6个．

点评：本题考查了函数在某点处的导数的几何意义，以及利用导数求极值．