Question

19．电视台与某广告公司签约播放两部影片集，其中影片集甲每集播放时间为19分钟（不含广告时间，下同），广告时间为1分钟，收视观众为60万；影片集乙每集播放时间为7分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万，广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于80分钟的节目时间（含广告时间）．
（Ⅰ）问电视台每周应播放两部影片集各多少集，才能使收视观众最多；
（Ⅱ）在获得最多收视观众的情况下，影片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a和b（万元）的效益，若广告公司本周共获得3万元的效益，记S=$\frac{8}{a}$+$\frac{5}{b}$为效益调和指数（单位：万元），求效益调和指数的最小值．

Answer 1

分析 （1）设片集甲、乙分别播放x，y集，则有$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥6}\\{20x+8y≤80}\\{x，y∈{N}^{+}}\end{array}\right.$，要使收视观众最多，则只要z=60x+20y最大即可．
（2）由题意得：2a+5b=3，则$\frac{1}{3}$（2a+5b）=1，利用“1”的代换，结合基本不等式，求效益调和指数的最小值．

解答 解：（Ⅰ）设片集甲乙分别播放x，y集，由题意得到$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥6}\\{20x+8y≤80}\\{x，y∈{N}^{+}}\end{array}\right.$，要使收视观众最多，只要z=60x+20y最大即可，
作出可行域，如图
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=6}\\{20x+8y=80}\end{array}\right.$解得A（$\frac{8}{3}，\frac{10}{3}$），所以满足题意的最优解为（2，5），
z_max=60×2+20×5=220，故电视台每周片集甲播出2集，片集乙每周播出5集，其收视观众最多；
（Ⅱ）由题意得：2a+5b=3，则
S=$\frac{8}{a}+\frac{5}{b}=\frac{1}{3}（2a+5b）（\frac{8}{a}+\frac{5}{b}）$=$\frac{1}{3}（41+\frac{40b}{a}+\frac{10a}{b}）$≥27，
当且仅当a=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{1}{3}$时取等号，所以效益调和指数的最小值为27万元．

点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，考查基本不等式的运用，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．