Question

已知以T=4为周期的函数f（x）在（-1，3]上的解析式为f(x)=

-m|x|x∈(-1，1) 1-(x-2)2  x∈[1，3]

，其中m＞0，若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为

(

5

3

，

7

3

]

．

Answer 1

分析：先根据函数解析式画出函数f（x）在（-1，3]上的图象，然后根据周期性画出函数f（x）的图象，方程3f（x）=x恰有5个实数解即y=f（x）与y=

x

3

有五个交点，结合图形分析可求出m的范围．

解答：解：根据函数f（x）在（-1，3]上的解析式为f(x)=

-m|x|x∈(-1，1) 1-(x-2)2  x∈[1，3]

，其中m＞0，
画出函数图象，再结合周期性画出函数图象
方程3f（x）=x恰有5个实数解即y=f（x）与y=

x

3

有五个交点
根据图象可知在[0，+∞）有三个交点
要使-m|x+4|=

x

3

在（-5，-3]上有两交点，-m|x+8|=

x

3

在（-9，-7]上没有交点
∴m∈(

5

3

，

7

3

]
故答案为：(

5

3

，

7

3

]

点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，及函数的周期性，数形结合是解题的关键，属于中档题．