Question

设函数f(x)=

2x+3

3x

(x＞0)，数列{a_n}满足a1=1，an=f(

1

an-1

)(n∈N*，且n≥2)．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（III）在数列{a_n}中是否存在这样一些项：an1，an2，an3，…，ank，…(1=n1＜n2＜n3＜…＜nk＜…，k∈N*)，这些项能够构成以a₁为首项，q（0＜q＜5，q∈N^*）为公比的等比数列{ank}，k∈N^*．若存在，写出n_k关于k的表达式；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由an=f(

1

an-1

)=

2× 1 an-1 +3

3× 1 an-1

=an-1+

2

3

，（n∈N^*，且n≥2），
知an-an-1=

2

3

．由此可知an=

2n+1

3

．
（II）分n=2m与n=2m-1讨论可得，Tn=

- 1 9 (2n2+6n)，n为正偶数 1 9 (2n2+6n+7)，n为正奇数

，由此计算能导出实数t的取值范围．
（III）由an=

2n+1

3

，知数列{a_n}中每一项都不可能是偶数．存在以a₁为首项，公比q为2或4的数列{ank}，k∈N^*，
此时{ank}，中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a₁为首项，公比为偶数的数列{ank}，．再由q=1和q=3分别讨论知存在满足条件的数列{a_nk}，且nk=

3k-1

2

(k∈N*)．

解答：解：（I）因为an=f(

1

an-1

)=

2× 1 an-1 +3

3× 1 an-1

=an-1+

2

3

，（n∈N^*，且n≥2），
所以an-an-1=

2

3

．（2分）
因为a₁=1，所以数列{a_n}是以1为首项，公差为

2

3

的等差数列．
所以an=

2n+1

3

．（4分）

（II）①当n=2m，m∈N*时，T_n=T_2m=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^2m-1a_2ma_2m+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2m（a_2m-1-a_2m+1）=-

4

3

(a2+a4+…+a2m)
=-

4

3

×

a2+a2m

2

×m=-

1

9

(8m2+12m)=-

1

9

(2n2+6n)．（6分）

②当n=2m-1，m∈N*时，T_n=T_2m-1=T_2m-（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=-

1

9

(8m2+12m)+

1

9

(16m2+16m+3)=

1

9

(8m2+4m+3)=

1

9

(2n2+6n+7)．（8分）
所以Tn=

- 1 9 (2n2+6n)，n为正偶数 1 9 (2n2+6n+7)，n为正奇数

要使T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，
只要使-

1

9

(2n2+6n)≥tn2，（n为正偶数）恒成立．
只要使-

1

9

(2+

6

n

)≥t，对n为正偶数恒成立，
故实数t的取值范围为(-∞，-

5

9

]．（10分）

（III）由an=

2n+1

3

，知数列{a_n}中每一项都不可能是偶数．
存在以a₁为首项，公比q为2或4的数列{ank}，k∈N^*，
此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a₁为首项，公比为偶数的数列{ank}．（12分）
②当q=1时，显然不存在这样的数列{ank}．
当q=3时，若存在以a₁为首项，公比为3的数列{ank}，k∈N^*．
则an1=1，n₁=1，nk=

3k-1

2

．
所以存在满足条件的数列{ank}，且nk=

3k-1

2

(k∈N*)．（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．