Question

已知点P₁（x₀，y₀）为双曲线

x2

3b2

-

y2

b2

=1(b＞0，b为常数)上任意一点，F₂为双曲线的右焦点，过P₁作右准线的垂线，垂足为A，连接F₂A并延长交y轴于点P₂
（1）求线段P₁P₂的中点P的轨迹E的方程；
（2）是否存在过点F₂的直线l，使直线l与（1）中轨迹在y轴右侧交于R₁、R₂两不同点，且满足

OR1

•

OR2

=4b2，（O为坐标原点），若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由；
（3）设（1）中轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q（x₁，y₁）（y₁≠0），直线QB、QD分别交y轴于M、N点，求证：以MN为直径的圆恒过两个定点．

Answer 1

分析：（1）设点P的坐标为（x，y），点A(

3b

2

，y0)，F2(2b，0)．所以，直线AF₂的方程为y=

2y0

-b

(x-2b)，由此能求出线段P₁P₂的中点P的轨迹E的方程．
（2）假设符合题意的直线l存在，显然直线l斜率不为0，而F₂（2b，0），设直线l的方程为x=ky+2b，点R₁（x₃，y₃）、R₂（x₂，y₂），由

4x2 3b2 - 4y2 25b2 =1 x=ky+2b

⇒(k2-

3

25

)y2+4kby+

13

4

b2=0，由此推导出k2=

13

19

与k2＜

3

25

矛盾，故不存在符合题意的直线．
（3）因为轨迹E的方程为：

4x2

3b2

-

4y2

25b2

=1，令y=0，则有x=±

3

2

b．设B(-

3

2

b，0)，D(

3

2

b，0)，则直线QB的方程为y(x1+

3

2

b)=y1(x+

3

2

b)，令x=0，得M(0，

3 2 by1

x1+ 3 2 b

)，直线QD的方程为y(x1-

3

2

b)=y1(x-

3

2

b)，令x=0，得N(0，

- 3 2 by1

x1- 3 2 b

)，以MN为直径的圆的方程为x2+(y-

3 2 by1

x1+ 3 2 b

)(y-

- 3 2 by1

x1- 3 2 b

)=0，由此能够证明以MN为直径的圆恒过两个定点．

解答：解：（1）设点P的坐标为（x，y），
由题意可知，点A(

3b

2

，y0)，F2(2b，0)
所以，直线AF₂的方程为y=

2y0

-b

(x-2b)，
令x=0，得y=4y₀，
即点P₂的坐标为（0，4y₀）
∴ 

x= x0 2 y= y0+4y0 2

，可得

x0=2x y0= 2 5 y

，
而点P₁（x₀，y₀）在双曲线上，
所以

4x2

3b2

-

4y2

25b2

=1，
即线段P₁P₂的中点P的轨迹E的方程为：

4x2

3b2

-

4y2

25b2

=1…4分
（2）假设符合题意的直线l存在，显然直线l斜率不为0，而F₂（2b，0），
故可设直线l的方程为x=ky+2b，点R₁（x₃，y₃）、R₂（x₂，y₂），
由

4x2 3b2 - 4y2 25b2 =1 x=ky+2b

⇒(k2-

3

25

)y2+4kby+

13

4

b2=0，
显然，k2-

3

25

≠0，
∴

△＞0 y2+y3= -4kb k2- 3 25 y2y3= 13b2 4(k2- 3 25 )

，
由题可知，y2y3=

13b2

4(k2- 3 25 )

＜0，
所以k2＜

3

25

．
由已知

OR1

•

OR2

=x2x3+y2y3=(k2+1)y2y3+2kb(y2+y3)+4b2=4b2，
∴

13b2(k2+1)

4(k2- 3 25 )

-

8k2b2

k2- 3 25

=0，
即k2=

13

19

与k2＜

3

25

矛盾
故不存在符合题意的直线…9分
（3），因为（Ⅰ）中轨迹E的方程为：

4x2

3b2

-

4y2

25b2

=1，
令y=0，则有x=±

3

2

b
不妨设B(-

3

2

b，0)，D(

3

2

b，0)，
则直线QB的方程为y(x1+

3

2

b)=y1(x+

3

2

b)，
令x=0，得M(0，

3 2 by1

x1+ 3 2 b

)，
直线QD的方程为y(x1-

3

2

b)=y1(x-

3

2

b)，
令x=0，得N(0，

- 3 2 by1

x1- 3 2 b

)，
以MN为直径的圆的方程为x2+(y-

3 2 by1

x1+ 3 2 b

)(y-

- 3 2 by1

x1- 3 2 b

)=0，
即x2+y2+

3 2 b2y1

x12- 3 4 b2

y-

3 4 b2y12

x12- 3 4 b2

=0，
点Q（x₁，y₁）在曲线E上，则有x2-

3b2

4

=

3y12

25

，
所以，以MN为直径的圆的方程为x2+y2+

25b2

2y1

y-

25b2

4

=0，
当y=0时，恒有x=±

5

2

b，即证以MN为直径的圆恒过两个定点(±

5

2

b，0)．…14分

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，综合性强，难度大，是高考的重点．易错点是计算量大，容易粗心大意导致失误．解题时要认真审题，注意解题能力的培养．