【题目】已知f(x)=(ax2+ax+x+a)e﹣x(a≤0).
(1)讨论y=f(x)的单调性;
(2)当a=0时,若f(x1)=f(x2) (x1≠x2),求证x1+x2>2.
【答案】
(1)解:由已知得:x∈R,f′(x)= ,
若a=0,当x<1时,f′(x)>0,当x>1时,f′(x)<0,
∴f(x)在(﹣∞,1)递增,在(1,+∞)递减,
若﹣1<a<0时,﹣ >1,
∴f(x)在(﹣∞,1)与(﹣ ,+∞)递增,在(1,﹣
)递减,
若a=﹣1,f′(x)≤0,∴f(x)在R递减,
若a<﹣1,时,则﹣ <1,
∴f(x)在(﹣∞,﹣ )与(1,+∞)递增,在(﹣
,1)递减,
综上:若a=0,f(x)在(﹣∞,1)递增,在(1,+∞)递减,
﹣1<a<0时,f(x)在(﹣∞,1)与(﹣ ,+∞)递增,在(1,﹣
)递减,
a=﹣1时,f′(x)≤0,∴f(x)在R递减,
a<﹣1时,f(x)在(﹣∞,﹣ )与(1,+∞)递增,在(﹣
,1)递减
(2)证明: a=0时,f(x)=xe﹣x,∴f′(x)=(1﹣x)e﹣x,
∴f(x)在(﹣∞,1)递增,在(1,+∞)递减,
∵f(x1)=f(x2),(x1≠x2),
则不妨设x1<1<x2,∴2﹣x2<1,
要证x1+x2>2,只需证明 x1>2﹣x2,
由f(x)在(﹣∞,1)递增,
即证f(x2)>f(2﹣x2),即证 <
,
即证x2>(2﹣x2) ,
令g(t)=t﹣(2﹣t)e2t﹣2(t>1),
g′(t)=1+(2t﹣3)e2t﹣2,
g″(t)=(4t﹣4)e2t﹣2>0,
∴g′(t)在(1,+∞)递增,g′(t)>g′(1)=0,
∴g(t)在(1,+∞)递增,g(t)>g(1)=0,
∴g(t)在(1,+∞)上恒大于0,
即x2>(2﹣x2) ,
即x1+x2>2
【解析】(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,判断函数的单调性即可;(2)不妨设x1<1<x2 , 得到2﹣x2<1,问题转化为证x2>(2﹣x2) ,令g(t)=t﹣(2﹣t)e2t﹣2(t>1),根据函数的单调性证明即可.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减才能正确解答此题.
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【题目】某电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了名观众进行调查,如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图,将日均收看该体育节目时间不低于
分钟的观众称为体育迷.
(1)以频率为概率,若从这名观众中随机抽取
名进行调查,求这
名观众中体育迷人数
的分布列;
(2)若抽取人中有女性
人,其中女体育迷有
人,完成答题卡中的列联表并判断能否在犯错概率不超过
的前提下认为是体育迷与性别有关系吗?
附表及公式:
,
.
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【题目】已知集合A={x|x2-(a-1)x-a<0,a∈R},集合B={x|<0}.
(1)当a=3时,求A∩B;
(2)若A∪B=R,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)当时,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)若在区间上存在不相等的实数
,使
成立,求
的取值范围;
(Ⅲ)若函数有两个不同的极值点
,
,求证:
.
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【题目】某小学庆“六一”晚会共由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目必须排在前两位,节目
不能排在第一位,节目
必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )
A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 54种
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【题目】将函数f(x)=2sin(ωx+ )(ω>0)的图象向右平移
个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[﹣
,
]上为增函数,则ω的最大值为( )
A.3
B.2
C.
D.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的左焦点为F1(﹣
,0),e=
. (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)如图,设R(x0 , y0)是椭圆C上一动点,由原点O向圆(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=4引两条切线,分别交椭圆于点P,Q,若直线OP,OQ的斜率存在,并记为k1 , k2 , 求证:k1k2为定值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试问OP2+OQ2是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.
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【题目】已知,函数
.
(1)当时,解不等式
;
(2)若命题“,
”为真命题,求实数
的取值范围;
(3)若关于的方程
的解集中恰好有一个元素,求实数
的取值范围.
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