Question

【题目】设f（x）= （a∈R）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．
（1）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围；
（2）设函数g（x）=（x+1）f（x）﹣b（x﹣1）在[1，e]上有且只有一个零点，求实数b取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，

∵y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，

∴f′（1）= ，

∴ = ，∴1+a=1，解得a=0．

f（x）= ，

若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，

即lnx≤m（x﹣ ），

设g（x）=lnx﹣m（x﹣ ），

即对于任意的x∈[1，+∞），g（x）≤0，

g′（x）= ﹣m（1+ ）= ，

①若m≤0，g′（x）＞0，则g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾．

②若m＞0，方程﹣mx2+x﹣m=0的判别式△=1﹣4m2，

当△≤0，即m≥ 时，g′（x）≤0．

∴g（x）在（1，+∞）上单减，

∴g（x）≤g（1）=0，不等式成立．

当0＜m＜ 时，方程﹣mx2+x﹣m=0，设两根为x1，x2，（x1＜x2），

x1= ∈（0，1），x2= ∈（1，+∞），

当x∈（1，x1），g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0，与题设矛盾，

综上所述，m≥

（2）解：因为g（x）=xlnx﹣b（x﹣1），注意到g（1）=0

所以，所求问题等价于函数g（x）=xlnx﹣b（x﹣1）在（1，e]上没有零点．

因为g′（x）=lnx+1﹣b，

所以由g′（x）＜0lnx+1﹣b＜00＜x＜eb﹣1，

g′（x）＞0x＞eb﹣1

所以g（x）在（0，eb﹣1）上单调递减，在（eb﹣1，+∞）上单调递增．

①当eb﹣1≤1，即b≤1时，g（x）在（1，e]上单调递增，所以g（x）＞g（1）=0

此时函数g（x）在（1，e]上没有零点，

②当1＜eb﹣1＜e，即1＜b＜2时，g（x）在[1，eb﹣1）上单调递减，在（eb﹣1，e]上单调递增．

又因为g（1）=0，g（e）=e﹣be+b，g（x）在（1，e]上的最小值为g（eb﹣1）=b﹣eb﹣1

所以，（i）当1＜b≤ 时，g（x）在[1，e]上的最大值g（e）≥0，

即此时函数g（x）在（1，e]上有零点．

（ii）当 ＜b＜2时，g（e）＜0，即此时函数g（x）在（1，e]上没有零点．

③当e≤eb﹣1 即b≥2时，g（x）在[1，e]上单调递减，

所以g（x）在[1，e]上满足g（x）＜g（1）=0，

此时函数g（x）在（1，e]上没有零点

综上，所求的a的取值范围是b≤1或 ＜b

【解析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可得到结论．求a的值；将不等式恒成立转化为求函数的最值，求函数的导数，利用导数进行求解即可；（2）将条件转化为函数g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）在（1，e]上没有零点，即可得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．