Question

如图1，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使面ABE⊥平面BCD（如图2）．
（Ⅰ）若M为AC的中点，证明：DM∥面ABE；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

分析：（I）取AB中点N，连MN、EN，证明MNED为平行四边形，得MD∥NE，由线线平行⇒线面平行；
（II）作AF⊥BE于F，因为面ABE⊥平面BCD，交线为BE，证明AF为四棱锥A-BCDE的高，代入棱锥的体积公式计算．

解答：（Ⅰ）证明：取AB中点N，连MN、EN，
因为M为AC中点，所以MN∥BC，MN=

1

2

BC，故MN∥DE，MN=DE，
所以MNED为平行四边形，
所以MD∥NE，
因为NE?面ABE，DM?面ABE，所以DM∥面ABE；
（Ⅱ）作AF⊥BE于F，因为面ABE⊥平面BCD，交线为BE，AF?面ABE，
所以AF⊥面BCD，即AF为四棱锥A-BCDE的高，
由AB⊥AE，AB=AE=2，知AF=

2

，
又S_梯形BCDE=

1

2

×(2+4)×2=6，
所以V_A-BCDE=

1

3

×6×

2

=2

2

．

点评：本题考查了线面平行的证明，考查了棱锥的体积计算，考查了学生的空间想象能力能力与推理论证能力．