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(本题满分12分)

如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥BD,AD=BD=a,E是CC1的中点,A1D⊥BE.

(I)求证:A1D⊥平面BDE;

(II)求二面角B―DE―C的大小;

(III)求点B到平面A1DE的距离    

 

【答案】

(1)见解析;(2)∠BNM=arctan (10’)(3)BN==a 。

【解析】(1)因为A1D⊥BE,再根据AD⊥BD,,所以,

所以,因而,问题得证.

(2)作出二面角的平面角是解题的关键,具体做法取CD中点M,连BM,则BM⊥平面CD1,作MN⊥DE于N,连NB,则∠BNM是二面角B―DE―C的平面角,然后解三角形求角即可.

(3)在(2)的基础上,易证BN长就是点B到平面A1DE的距离,因而可得BN==a.

(1)∵AA1⊥面ABCD,∴AA1⊥BD,

又BD⊥AD,∴BD⊥A1D        (2’)

又A1D⊥BE,

∴A1D⊥平面BDE                (3’)

(2)连B1C,则B1C⊥BE,易证RtΔCBE∽RtΔCBB1

=,又E为CC1中点,∴BB12=BC2=a2

∴BB1=a          (5’)

取CD中点M,连BM,则BM⊥平面CD1,作MN⊥DE于N,连NB,则∠BNM是二面角B―DE―C的平面角                (7’)

RtΔCED中,易求得MN=,RtΔBMN中,tan∠BNM==,∴∠BNM=arctan (10’)

(3)易证BN长就是点B到平面A1DE的距离    (11’)

BN==a        (12’)

    (2)另解:以D为坐标原点,DA为x轴、DB为y轴、DD1为z轴建立空间直角坐标系

则B(0,a,0),设A1(a,0,x),E(-a,a, ),=(-a,0,-x),=(-a,0, ),∵A1D⊥BE

∴a2-x2=0,x2=2a2,x=a,即BB1=a.

 

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(Ⅱ)求二面角的大小;

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