Question

【题目】已知函数f(x)＝|3x－1|－2|x|＋2.

(Ⅰ)解不等式：f(x)<10；

(Ⅱ)若对任意的实数x，f(x)－|x|≤a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)(－7,9)(Ⅱ)[3，＋∞).

【解析】试题分析：(Ⅰ) 对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集，即可得不等式的解集；(Ⅱ)对任意的实数恒成立，等价于，利用，可得 ，从而可求实数的取值范围.

试题解析：(Ⅰ)当x<0时，不等式可化为－(3x－1)－(－2x)＋2<10，解得x>－7.所以－7<x<0；

当0≤x≤时，不等式可化为－(3x－1)－2x＋2<10，解得x>－.所以0≤x≤；

当x>时，不等式可化为(3x－1)－2x＋2<10，解得x<9.所以<x<9.

综上，不等式的解集为(－7,9).

(Ⅱ)f(x)－|x|≤a即为|3x－1|－2|x|＋2－|x|≤a，即|3x－1|－3|x|≤a－2.

即|3x－1|－|3x|≤a－2.

因为|3x－1|－|3x|≤|3x－1－3x|＝1

所以要对任意的实数x，使得f(x)－2|x|≤a，需使1≤a－2，解得a≥3.

即实数a的取值范围是[3，＋∞).