Question

设点M、N分别是不等边△ABC的重心与外心，已知A（0，1），B（0，-1），且．
（1）求动点C的轨迹E；
（2）若直线y=x+b与曲线E交于不同的两点P、Q，且满足，求实数b的取值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设点C（x，y ），则点M  （， ），由 ，可得 MN∥AB，故N的横坐标等于，又N在AB的中垂线上，故纵坐标等于 0．由于 NA=NC，可得 =，化简可得轨迹方程，从而得到轨迹．
（2）把直线y=x+b代入轨迹E的方程化简可得  4x²+6bx+3b²-3=0，由  可得  x₁•x₂+（x₁+b）•（x₂+b）=2x₁•x₂+b（x₁+x₂）+b²=0，把根与系数的关系代入求出b值．
解答：解：（1）设点C（x，y ），则 点M （， ），即 点M  （， ），
由 ，可得 MN∥AB，故N的横坐标等于，又N在AB的中垂线上，故纵坐标等于 0．
由于N是不等边△ABC的外心，∴NA=NC，∴=．
化简可得  ，xy≠0，故动点C的轨迹E是焦点在x轴上的标准位置的一个椭圆，去掉其顶点．
（2）把直线y=x+b代入轨迹E的方程化简可得  4x²+6bx+3b²-3=0．由题意可得，b≠0，b≠±1，
且△=36b²-16（ 3b²-3）＞0，x₁+x₂=，x₁•x₂=．
由  可得  x₁•x₂+（x₁+b）•（x₂+b）=2x₁•x₂+b（x₁+x₂）+b²=0．
∴2•+b•（  ）+b²=0，解得 b²=，∴b=±．
点评：本题考查点轨迹方程的求法，直线和圆锥曲线的位置关系，判断轨迹E的形状，是阶梯的易错点．