【题目】如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,.
(1)证明:平面平面;
(2)若,为棱的中点,,,求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】分析:(1)由四边形为矩形,可得,再由已知结合面面垂直的性质可得平面,进一步得到,再由,利用线面垂直的判定定理可得面,即可证得平面;
(2)取的中点,连接,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
由题得,解得. 进而求得平面和平面的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解二面角的余弦值.
详解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴CD⊥BC.
∵平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,CD平面ABCD,
∴CD⊥平面PBC,
∴CD⊥PB.
∵PB⊥PD,CD∩PD=D,CD、PD平面PCD,∴PB⊥平面PCD.
∵PB平面PAB,∴平面PAB⊥平面PCD.
(2)设BC中点为,连接,
,又面 面,且面 面 ,
所以面.
以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.由(1)知PB⊥平面PCD,故PB⊥,设,
可得
所以由题得,解得.
所以
设是平面的法向量,则,即,
可取.
设是平面的法向量,则,即,
可取.
则,
所以二面角的余弦值为.
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【题目】在直角坐标系中,直线过原点,倾斜角为,圆的圆心为,半径为2,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)分别写出直线和圆的极坐标方程;
(2)已知点为极轴与圆的交点(异于极点),点为直线与圆在第二象限的交点,求的面积.
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【题目】已知函数f(x)=,下列结论中错误的是
A. , f()=0
B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C. 若是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,)单调递减
D. 若是f(x)的极值点,则()=0
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【题目】 已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
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