Question

已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c若（2a-c）cosB=bcosC，求f（

A

2

）的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用函数的图象，求出A，通过函数的周期求出ω，通过函数的图象经过(

π

6

，1)，求出φ，即可解出函数f（x）的解析式；
（II）利用（2a-c）cosB=bcosC，结合正弦定理，求出cosB，利用函数的解析式求f（

A

2

）的表达式，通过A的范围求出函数的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由图象知A=1，的最小正周期T=4(

5π

12

-

π

6

)=π，故ω=2（2分）
将点(

π

6

，1)代入的解析式得sin(

π

3

+?)=1，又|?|＜

π

2

故?=

π

6

所以f(x)=sin(2x+

π

6

)（4分）
（Ⅱ）由（2a-c）cosB=bcosC得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
所以2sinAcosB=sin（B+C）=sinA（6分）
因为sinA≠0所以cosB=

1

2

，B=

π

3

，A+C=

2π

3

（8分）
f(

A

2

)=sin(A+

π

6

)，0＜A＜

2π

3

，

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

（10分）
F

1

2

＜f(

A

2

)=sin(A+

π

6

)≤1（12分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，正弦定理的应用，三角函数的值域，考查计算能力．