Question

已知椭圆短轴长为2，P（x，y）（x≠±a）是椭圆上一点，A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线PA，PB的斜率之积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）当∠F₁PF₂为钝角时，求P点横坐标的取值范围；
（3）设F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，M、N是椭圆右准线l上的两个点，若，求MN的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆的短轴长为2，可得b=1，再由直线PA，PB的斜率之积为，结合P在椭圆上的特点，列方程可解得a值，从而确定椭圆方程
（2）由余弦定理知∠F₁PF₂为钝角的充要条件为，利用焦半径公式代入列不等式即可解得P点横坐标的取值范围
（3）由于M、N在右准线上，故MN的长度即为两点纵坐标之差的绝对值，利用，得纵坐标积的值，再利用均值定理即可得纵坐标差的绝对值的最小值，进而得MN的最小值
解答：解：（1）∵椭圆短轴长为2，
∴b=1，A（-a，0），B（a，0），=1-=
∴直线PA，PB的斜率之积k_PA•k_PB===-=-
∴a=2
∴椭圆的方程为．
（2）椭圆的a=2，离心率e=
因为∠F₁PF₂为钝角，所以，
所以，
即（2+x）²+（2-x）²＜12
解得，
即P点横坐标的取值范围为．
（3）椭圆的右准线方程为x==
因为M、N是椭圆右准线l上的两个点，故设，，
因为，所以F₁M⊥F₂N．
即，即，所以y₁，y₂异号．
所以，
当且仅当y₁=-y₂，即或取等号．
所以MN的最小值为．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其求法，椭圆的离心率，准线，焦点三角形等几何性质，向量与解析几何的综合，最值问题的解法