练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为2
    		3
    ，圆C的面积小于13．
    （1）求圆C的标准方程；
    （2）若圆C上有两点M、N关于直线x+2y-1=0对称，且|MN|=2
    		3
    ，求直线MN的方程；
    （3）设过点P（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与PC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．
    考点：圆的标准方程,直线与圆的位置关系
    专题：综合题,直线与圆
    分析：（1）利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，建立方程，根据圆C的面积小于13，即可求圆C的标准方程；
    （2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及垂径定理求出直线方程中的参数，即可得到直线方程；
    （3）分类讨论，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，再假设
    OD
    ∥
    PC
    ，则-3（x1+x2）=y1+y2，即可得出结论．
    解答： 解：（1）设圆C：（x-a）2+y2=R2（a＞0），
    由题意知
    |3a+7|
    5
    =R
    		a2+3
    =R
    ，解得a=1或a=
    13
    8
    ，…（3分）
    又∵S=πR2＜13，
    ∴a=1，
    ∴圆C的标准方程为：（x-1）2+y2=4．    …（4分）
    （2）由题意，可设直线MN的方程为2x-y+m=0．…（6分）
    则圆心O到直线MN的距离d=
    |2+m|
    		5
    ．                
    由垂径分弦定理得：
    (2+m)2
    5
    +3=4    ，即m=-2±
    		5
    ．
    所以直线MN的方程为：2x-y-2±
    		5
    =0．…（8分）
    （3）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．
    当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），
    又∵l与圆C相交于不同的两点，
    直线代入圆的方程，消去y得：（1+k2）x2+（6k-2）x+6=0，…（9分）
    ∴△=（6k-2）2-24（1+k2）=3k2-6k-5＞0，
    解得k＜1-
    2
    		6
    3
    或k＞1+
    2
    		6
    3
    ．
    x1+x2=-
    6k-2
    1+k2
    ，y1+y2=k（x1+x2）+6=
    2k+6
    1+k2
    ，
    假设
    OD
    ∥
    PC
    ，则-3（x1+x2）=y1+y2，
    ∴3×
    6k-2
    1+k2
    =
    2k+6
    1+k2
    ，
    解得k=
    3
    4
    不满足k＜1-
    2
    		6
    3
    或k＞1+
    2
    		6
    3
    ，假设不成立．
    ∴不存在这样的直线l．   …（13分）
    点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）=
    3x3+2x+2
    ，x∈(-∞，1)
    (x+x-1)(x2+x-2-1)，x∈(1，+∞)
    ，则f[f（0）]=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥AB，BD=
    1
    2
    AE=2，点O、M分别为CE、AB的中点．
    （1）求证：OD∥平面ABC；
    （2）求直线CD和平面ODM所成角的正弦值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    ={3λ，6，λ+6}，
    b
    ={λ+1，3，2λ}，若
    a
    ∥
    b
    ，则λ=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知等差数列{an}的前n项和Sn能取到最大值，且满足：a9+3a11＜0，a10•a11＜0，对于以下几个结论：
    ①数列{an}是递减数列；
    ②数列{Sn}是递减数列
    ③数列{Sn}的最大项是S10；
    ④数列{Sn}的最小的正数是S19．
    其中正确的结论的个数是
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=a2x+2ax-1，其中a＞0且a≠1．
    （1）若a=
    1
    2
    ，请用定义证明f（x）在R上单调递增；
    （2）若函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值为14，求a的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB1与C1B所成的角为（　　）
    A、
    2π
    3
    B、
    π
    3
    C、
    π
    6
    D、
    π
    4

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    函数y=lg|x-1|+
    1
    x
    的零点个数是
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知直线l1：ax+2y+1=0，直线l2：x-y+a=0．
    （1）若直线l1⊥l2，求a的值及垂足P的坐标；
    （2）若直线l1∥l2，求a的值及直线l1与l2的距离．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案