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已知各项均为非负整数的数列A:a,a1,…,an(n∈N*),满足a=0,a1+…+an=n.若存在最小的正整数k,使得ak=k(k≥1),则可定义变换T,变换T将数列A变为T(A):a+1,a1+1,…,ak-1+1,0,ak+1,…,an.设Ai+1=T(Ai),i=0,1,2….
(Ⅰ)若数列A:0,1,1,3,0,0,试写出数列A5;若数列A4:4,0,0,0,0,试写出数列A
(Ⅱ)证明存在数列A,经过有限次T变换,可将数列A变为数列
(Ⅲ)若数列A经过有限次T变换,可变为数列.设Sm=am+am+1+…+an,m=1,2,…,n,求证,其中表示不超过的最大整数.
【答案】分析:(Ⅰ)根据新定义,首项分别取1,2,3,4,5,从而可写出其余各项;
(Ⅱ)若数列A:a,a1,…,an满足ak=0及ai>0(0≤i≤k-1),则定义变换T-1,变换T-1将数列A变为数列T-1(A):a-1,a1-1,…,ak-1-1,k,ak+1,…,an.可验证数列A满足条件;
(Ⅲ)显然ai≤i(i=1,2,…,n),由变换T的定义可知数列A每经过一次变换,Sk的值或者不变,或者减少k,由于数列A经有限次变换T,变为数列n,0,…,0时,有Sm=0,m=1,2,…,n,从而可得Sm=am+Sm+1=am+(m+1)tm+1,0≤am≤m,由此可得结论.
解答:(Ⅰ)解:若A:0,1,1,3,0,0,则A1:1,0,1,3,0,0;A2:2,1,2,0,0,0; A3:3,0,2,0,0,0;A4:4,1,0,0,0,0; A5:5,0,0,0,0,0.
若A4:4,0,0,0,0,则 A3:3,1,0,0,0; A2:2,0,2,0,0; A1:1,1,2,0,0; A:0,0,1,3,0..….…(4分)
(Ⅱ)证明:若数列A:a,a1,…,an满足ak=0及ai>0(0≤i≤k-1),则定义变换T-1,变换T-1将数列A变为数列T-1(A):a-1,a1-1,…,ak-1-1,k,ak+1,…,an.可得T-1和T是互逆变换.
对于数列n,0,0,…,0连续实施变换T-1(一直不能再作T-1变换为止)得n,0,0,…,0n-1,1,0,…,0n-2,0,2,0,…,0n-3,1,2,0,…,0a,a1,…,an
则必有a=0(若a≠0,则还可作变换T-1).
反过来对a,a1,…,an作有限次变换T,即可还原为数列n,0,0,…,0,因此存在数列A满足条件.…(8分)
(Ⅲ)证明:显然ai≤i(i=1,2,…,n),这是由于若对某个i,则由变换的定义可知,通过变换,不能变为0.
由变换T的定义可知数列A每经过一次变换,Sk的值或者不变,或者减少k,由于数列A经有限次变换T,变为数列n,0,…,0时,有Sm=0,m=1,2,…,n,
所以Sm=mtm(tm为整数),于是Sm=am+Sm+1=am+(m+1)tm+1,0≤am≤m,
所以am为Sm除以m+1后所得的余数,即.…(13分)
点评:本题考查新定义,考查学生接受新概念的能力,考查学生分析解决问题的能力,综合性强,难度较大.
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(Ⅰ)若数列A0:0,1,1,3,0,0,试写出数列A5;若数列A4:4,0,0,0,0,试写出数列A0
(Ⅱ)证明存在数列A0,经过有限次T变换,可将数列A0变为数列n,
0,0,…,0
n个

(Ⅲ)若数列A0经过有限次T变换,可变为数列n,
0,0,…,0
n个
.设Sm=am+am+1+…+an,m=1,2,…,n,求证am=Sm-[
Sm
m+1
](m+1)
,其中[
Sm
m+1
]
表示不超过
Sm
m+1
的最大整数.

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(Ⅲ)若数列A0,经过有限次T变换,可变为数列.设Sm=am+am+1+…+an,m=1,2,…,n,求证am=Sm-[](m+1),其中[]表示不超过的最大整数.

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