【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中, 平面PCD,平面PAD平面ABCD,CD⊥AD,△APD为等腰直角三角形, .
(1)证明:平面PAB⊥平面PCD;
(2)若三棱锥B﹣PAD的体积为 ,求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值.
【答案】
(1)证明:依题: CD⊥面PADCD⊥AP,
又AP⊥PD,∴AP⊥平面PCD,
又AP平面PAB,∴平面PAB⊥平面PCD;
(2)解: AB∥CD
由(1)知AB⊥面PAD∴ = ,
取AD中点O,PO⊥AD,平面PAD平面ABCD,∴PO平面ABCD,
以过点O且平行于AB的直线为x轴,如图建系,各点坐标如图.
由(1)易知平面PAD的一法向量为 ,
设平面PBC的法向量为
. , . ,
取x=2, . = ,
故所求二面角的余弦值为 .
【解析】(1)依题意得CD⊥AP,AP⊥PD,即AP⊥平面PCD,可得平面PAB⊥平面PCD(2) ,AB∥CD
由(1)知AB⊥面PAD,由 = ,
取AD中点O,以过点O且平行于AB的直线为x轴建系,利用向量求解.
【考点精析】利用平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
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【题目】函数y=sin2x的图象经过适当变换可以得到y=cos2x的图象,则这种变换可以是( )
A.沿x轴向右平移 个单位
B.沿x轴向左平移 个单位
C.沿x轴向左平移 个单位
D.沿x轴向右平移 个单位
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【题目】当n为正整数时,函数N(n)表示n的最大奇因数,如N(3)=3,N(10)=5,…,设Sn=N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+…+N(2n﹣1)+N(2n),则Sn= .
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【题目】矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0,点T(﹣1,1)在AD边所在直线上. (Ⅰ)求AD边所在直线的方程;
(Ⅱ)求矩形ABCD外接圆的方程.
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【题目】某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=( )
A.9
B.10
C.12
D.13
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【题目】已知m、n、s、t∈R* , m+n=3, 其中m、n是常数且m<n,若s+t的最小值 是 ,满足条件的点(m,n)是椭圆 一弦的中点,则此弦所在的直线方程为( )
A.x﹣2y+3=0
B.4x﹣2y﹣3=0
C.x+y﹣3=0
D.2x+y﹣4=0
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