【题目】已知函数,(为常数)
(1)若
①求函数在区间上的最大值及最小值。
②若过点可作函数的三条不同的切线,求实数的取值范围。
(2)当时,不等式恒成立,求的取值范围。
【答案】(1)①;②;(2)。
【解析】
(1)①利用导数求出函数的最值;②设曲线切线的切点坐标为,则,故切线方程为,
因为切线过点,所以有三个不同的解;
(2)不等式等价于,令,明确函数的最值,对a分类讨论,即可得到结果。
(1)因为,所以,从而。
①令,解得或,列表:
所以,,。
②设曲线切线的切点坐标为,则,
故切线方程为,
因为切线过点,所以,
即,
令,则,
所以,当时,,此时单调递增,
当时,,此时单调递减,
所以,,
要使过点可以作函数的三条切线,则需,解得。
(2)当时,不等式等价于,
令,则,
所以,当时,,此时函数单调递减;
当时,,此时函数单调递增,故。
若,则,此时;
若,则,从而;
综上可得。
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【题目】若点P是直线2x+y+10=0上的动点,直线PA、PB分别与圆x2+y2=4相切于A、B两点,则四边形PAOB(O为坐标原点)面积的最小值为________.
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【题目】鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,从外表上看,六根等长的正四棱柱分成三组,经榫卯起来,如图,若正四棱柱的高为,底面正方形的边长为,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为( )(容器壁的厚度忽略不计)
A.B.C.D.
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【题目】已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,过焦点F的直线交抛物线于A,B两点,过A,B作准线的垂线交准线与P,Q两点.R是PQ的中点.
(1)证明:以PQ为直径的圆恒过定点F.
(2)证明:AR∥FQ.
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【题目】有限集S中的元素个数记作,设A、B是有限集合,给出下列命题:
(1)的充分不必要条件是;
(2)的必要不充分条件是;
(3)的充要条件是
其中假命题是(写题号)________________.
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【题目】某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如表所示.
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | 5 | ||
第2组 | ① | ||
第3组 | 30 | ② | |
第4组 | 20 | ||
第5组 | 10 |
(1)请先求出频率分布表中位置的相应数据,再完成频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试;
(3)在(2)的前提下,学校决定在名学生中随机抽取名学生接受考官进行面试,求:第组至少有一名学生被考官面试的概率.
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【题目】已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点P.
(1)若直线l平行于直线l1:4x-y+1=0,求l的方程;
(2)若直线l垂直于直线l1:4x-y+1=0,求l的方程.
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