【题目】已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为.
(1)求椭圆Γ的标准方程;
(2)过P(1,0)作动直线AB交椭圆Γ于A,B两点,Q(4,3)为平面上一定点连接QA,QB,设直线QA,QB的斜率分别为k1,k2,问k1+k2是否为定值,如果是,则求出该定值;否则,说明理由.
【答案】(1)+=1 (2)见解析
【解析】
(1)依题意2a=4,a=2,e==,则c=,由椭圆的几何性质可得b的值,代入椭圆的方程即可得答案;
(2)根据题意,分2种情况讨论:当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1),联立直线与椭圆的方程,由根与系数的关系分析可得k1+k2的值,当直线l的斜率不存在时,求出A、B的坐标,计算可得k1+k2的值,综合即可得答案.
(1)依题意2a=4,a=2,e==,则c=,则b2=a2-c2=2,
∴椭圆Γ的标准方程为+=1.
(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB:y=k(x-1),
与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2),
由,消y整理可得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-4=0,显然△>0,
∴x1+x2=,x1x2=,
从而k1+k2=+=+=k++k+,
=2k+(3k-3)(+),
=2k+(3k-3),
=2k+(3k-3),
=2k+(3k-3)(-)=2,
当直线AB的斜率不存在时,A(1,),B(1,-),则k1+k2=+=2,
综上所述k1+k2=2.
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【题目】设定义在上的函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围;
(3)定义:如果实数满足, 那么称比更接近.对于(2)中的及,问:和哪个更接近?并说明理由.
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【题目】已知方程的曲线是圆C,
(1)若直线l:与圆C相交于M、N两点,且(O为坐标原点),求实数m的值;
(2)当时,设T为直线n:上的动点,过T作圆C的两条切线TG、TH,切点分别为G、H,求四边形TGCH而积的最小值.
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【题目】已知点F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,若点P(x0,4)在抛物线C上,且.
(1)求抛物线C的方程;
(2)动直线l:x=my+1(mR)与抛物线C相交于A,B两点,问:在x轴上是否存在定点D(t,0)(其中t≠0),使得kAD+kBD=0,(kAD,kBD分别为直线AD,BD的斜率)若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】定义变换将平面内的点变换到平面内的点;若曲线经变换后得到曲线,曲线经变换后得到曲线,…,依次类推,曲线经变换后得到曲线,当时,记曲线与、轴正半轴的交点为和,某同学研究后认为曲线具有如下性质:①对任意的,曲线都关于原点对称;②对任意的,曲线恒过点;③对任意的,曲线均在矩形(含边界)的内部,其中的坐标为;④记矩形的面积为,则;其中所有正确结论的序号是_______.
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【题目】如图,三角形ABC为直角三角形,且,,E,F分别为AB,AC的中点,G,H分别为BE,AF的中点(如图一),现在沿EF将三角形AEF折起至,连接,,GH(如图二).
(1)证明:平面;
(2)当平面平面EFCB时,求异面直线GH与EF所成角的余弦值.
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【题目】已知AB是平面内一条长度为4的线段,P是平面内一动点,P可以与A,B重合.当P与A,B不重合时,直线PA与PB的斜率之积为,
(1)建立适当的坐标系,求动点P的轨迹方程;
(2)一个矩形的四条边与(1)中的轨迹M均相切,求该矩形面积的范围.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面为正方形,侧棱底面,为棱上一点,
(1)当为棱中点时,求直线与平面所成角的正弦值;
(2)是否存在点,使二面角的余弦值为?若存在,求的值.若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的离心率为,且抛物线的焦点恰好是椭圆的一个焦点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点作直线与椭圆交于,两点,点满足(为坐标原点),求四边形面积的最大值,并求此时直线的方程.
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