Question

求证：二项式x²ⁿ-y²ⁿ(n∈N*)能被x+y整除

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)当n=1时，x2-y2=(x+y)(x-y) 　　∴　能被x+y整除 　　(2)假设n=k时，x2k-y2k能被x+y整除 　　那么n=k+1时 　　即x2k+2-y2k+2=x2·x2k-x2y2k+x2y2k-y2·y2k 　　　　　　　 =x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2) 　　∵　x2k-y2k与x2-y2都能被x+y整除 　　∴　x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)能被x+y整除 　　即n=k+1时，x2k+2-y2k+2能被x+y整除 　　由(1)(2)可知，对任意的自然数n命题均成立．

提示：

由假设以x2k+2为主进行拼凑，即减去x2y2k加上x2y2k然后重新组合，目的是拼凑出n=k的归纳假设，剩余部分仍然能被x+y整除．