Question

已知数列{a_n}是等差数列，其中每一项及公差d均不为零，设aix2+2ai+1x+ai+2=0（i=1，2，3，…）是关于x的一组方程：
（1）求所有这些方程的公共根；
（2）设这些方程的另一个根为m_i，求证

1

m1+1

，

1

m2+1

，

1

m3+1

，…，

1

mn+1

，…也成等差数列．

Answer 1

分析：（1）设出公共根，代入方程，再写一个方程，两个方程相减，即可求得结论；
（2）设另一个根，利用韦达定理，根据等差数列的定义，可得结论．

解答：（1）解：公共根为p，则aip2+2ai+1p+ai+2=0①
ai+1p2+2ai+2p+ai+3=0②
②-①，得dp²+2dp+d=0，d≠0为公差，∴（p+1）²=0．
∴p=-1是公共根；
（2）证明：设另一个根为m_i，则m_i+（-1）=

-2ai+1

ai

=-2-

2d

ai

．
∴m_i+1=-

2d

ai

，即

1

mi+1

=-

ai

2d

，
∴

1

mi+1+1

-

1

mi+1

=-

ai+1-ai

2d

=-

1

2

∴{

1

mi+1

}是以-

1

2

为公差的等差数列．

点评：本题考查等差数列的判定，考查学生的计算能力，属于中档题．