Question

已知圆C的半径为2，圆心C在x轴的正半轴上，直线3x-4y+4=0与圆C相切．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点P（0，-3）的直线l与圆C交于不同两点A、B，且弦AB的垂直平分线m过点Q（3，-3），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用直线与圆相切的性质即可求出；
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式、直线与圆相交得到直线l满足的条件，再利用线段的垂直平分线的性质及垂径定理及推论即可得出．

解答：解：（I）设圆心为C（a，0）（a＞0），则圆C的方程为（x-a）²+y²=4
∵圆C与3x-4y+4=0相切，∴

|3a+4|

32+42

=2，即|3a+4|=10，
解得a=2或a=-

14

3

（舍去），
∴圆C的方程为（x-2）²+y²=4．
（II）假设符合条件的直线l存在，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx-3，
∵直线l与圆相交于不同两点，则圆心C到直线l的距离d=

|2k-3|

k2+1

＜r=2，解得k＞

5

12

，
直线m的方程为y+3=-

1

k

(x-3)，即x+ky+3k-3=0．
由于直线m垂直平分弦AB，故圆心C（2，0）必在直线m上，解得k=

1

3

．
而

1

3

∉(

5

12

，+∞)，
故不存在直线l，使得过点Q（3，-3）的直线m垂直平分弦AB．

点评：熟练掌握直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、直线与圆相交满足的条件、线段的垂直平分线的性质及垂径定理及推论是解题的关键．