Question

2．定义在（0，π）上的函数f（π-x）=f（x），对任意x$∈（0，\frac{π}{2}）$，不等式f（x）-f′（x）tanx＞0恒成立，则下列不等式成立的是（　　）

• A． $\sqrt{6}$f（$\frac{π}{6}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）$＜\sqrt{2}$f（$\frac{2π}{3}$）
• B． $\sqrt{6}$f（$\frac{π}{6}$）$＜\sqrt{2}$f（$\frac{2π}{3}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）
• C． $\sqrt{2}$f（$\frac{2π}{3}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{6}$f（$\frac{π}{6}$）
• D． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{6}$f（$\frac{π}{6}$）$\sqrt{2}$f（$\frac{2π}{3}$）

Answer 1

分析 把给出的等式变形得到f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，由其导函数的符号得到其在（0，$\frac{π}{2}$）上为增函数，即可判断．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinx＞0，cosx＞0，
由f（x）-f′（x）tanx＞0，得f（x）cosx＞f′（x）sinx．
即f′（x）sinx-f（x）cosx＜0
构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$＜0，
∴函数g（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上单调递减，
∵定义在（0，π）上的函数f（π-x）=f（x），
∴f（$\frac{2π}{3}$）=f（π-$\frac{2π}{3}$）=$\frac{π}{3}$
∴$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{3}$，
∴g（$\frac{π}{6}$）＞g（$\frac{π}{4}$）＞g（$\frac{π}{3}$），
∴$\frac{f（\frac{π}{6}）}{sin\frac{π}{6}}$＞$\frac{f（\frac{π}{4}）}{\frac{π}{4}}$＞$\frac{f（\frac{π}{3}）}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{f（\frac{2}{3}π）}{sin\frac{2π}{3}}$，
即$\frac{f（\frac{π}{6}）}{\frac{1}{2}}$＞$\frac{f（\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$＞$\frac{f（\frac{2π}{3}）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
∴$\sqrt{6}$f（$\frac{π}{6}$）＞$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{2π}{3}$）
故选：C．

点评 本题考查函数的单调性和导数的关系，构造函数是解决问题的关键，属中档题．