Question

【题目】已知椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求∠F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆C的另一个交点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上，

∴设椭圆C的方程为 =1，a＞b＞0，

则 ，解得a2=16，b2=12，

∴椭圆C的方程为 ．

（2）解：∵椭圆C的方程为 ，

∴F1（﹣2，0），F2（2，0），则直线AF1的方程为y= ，即3x﹣4y+6=0，

直线AF2的方程为x=2，由点A在椭圆C上的位置得直线l的斜率为正数，

设P（x，y）为直线l上一点，则 =|x﹣2|，

解得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0（斜率为负，舍），

∴直线l的方程为2x﹣y﹣x=0，

由 ，整理，得19x2﹣16x﹣44=0，

设直线l与椭圆C的另一个交点为M（x0，y0），

则有 ，解得 ， ，

∴直线l与椭圆C的另一个交点坐标为（﹣ ，﹣ ）．

【解析】（1）设椭圆C的方程为 =1，a＞b＞0，利用待定系数法能求出椭圆C的方程．（2）直线AF1的方程为3x﹣4y+6=0，求出直线l的方程为2x﹣y﹣x=0，与椭圆联立，得19x2﹣16x﹣44=0，由此利用韦达定理能求出直线l与椭圆C的另一个交点坐标．