Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=3S_n-2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n=3S_n-2与a_n-1=3S_n-1-2（n≥2）作差、整理可知a_n=-$\frac{1}{2}$a_n-1（n≥2），进而可知数列{a_n}是首项为1、公比为-$\frac{1}{2}$的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知na_n=（-1）^n-1•$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵a_n=3S_n-2，
∴a_n-1=3S_n-1-2（n≥2），
两式相减得：a_n-a_n-1=3a_n，
整理得：a_n=-$\frac{1}{2}$a_n-1（n≥2），
又∵a₁=3S₁-2，即a₁=1，
∴数列{a_n}是首项为1、公比为-$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴其通项公式a_n=（-1）^n-1•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
（2）由（1）可知na_n=（-1）^n-1•$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n=1•1+（-1）•2•$\frac{1}{2}$+…+（-1）^n-2•（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+（-1）^n-1•$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴-$\frac{1}{2}$T_n=1•（-1）•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（-1）^n-1•（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+（-1）ⁿ•n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
错位相减得：$\frac{3}{2}$T_n=1+[-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（-1）^n-1•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$]-（-1）ⁿ•n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=1+$\frac{-\frac{1}{2}[1-（-1）^{n-1}•\frac{1}{{2}^{n-1}}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$-（-1）ⁿ•n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{2}{3}$+（-1）^n-1•$\frac{3n+2}{3}$•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{2}{3}$[$\frac{2}{3}$+（-1）^n-1•$\frac{3n+2}{3}$•$\frac{1}{{2}^{n}}$]=$\frac{4}{9}$+（-1）^n-1•$\frac{3n+2}{9}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．