Question

如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=

π

3

，其中AC与BD交于点G，A₁点在面ABCD上的射影0恰好为线段AD的中点．
（1）求点G到平面ADD₁A₁距离；
（2）若D₁G与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为

3

4

，求二面角D₁-OC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）连接BO，取DO中点H，连接GH，由题意可得：平面AD₁⊥平面AC，进而证明BO⊥平面AD₁，由GH与OB的关系可得答案．
（2）建立空间直角坐标系，根据题意分别求出两个平面的法向量，结合向量间的运算关系求出两个向量的夹角．进而转化为二面角的平面角．

解答：解：（1）连接BO，取DO中点H，连接GH，
因为A₁O⊥平面AC，所以平面AD₁⊥平面AC，
又底面为菱形，O为AD中点，
所以BO⊥平面AD₁，
因为GH∥BO，
所以GH⊥平面AD₁，
又GH=

1

2

BD=

3

2

，
所以点G到平面ADD₁A₁的距离为

3

2

．
（2）分别以OA，OB，OA₁所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，
则 G(-

1

2

，

3

2

，0)，D₁（-2，0，a），所以

D1G

=(

3

2

，

3

2

，-a)，
面AD₁的一个法向量n=(0，

3

，0)，
所以cos?n，

D1G

＞=

3 2

3 • a2+3

=

3

4

，解得a=1，
因为面OCD的一个法向量为n=（0，0，1），
设面OCD₁的一个法向量为p=（x，y，z），则

OD1

=(-2，0，1)，

OC

=(-2，

3

，0)，
则有

p• OC =0 p• OD1 =0.

所以

-2x+ 3 y=0 -2x+z=0

，
取x=

3

，m=(

3

，2，2

3

)，
则cos＜p，m＞=

2 3

19

=

2 57

19

，
所以二面角D-OC-D₁的大小为arccos

2 57

19

．

点评：夹角成立问题的关键是数列掌握几何体的结构特征，以便得到线面关系以及建立坐标系，利用向量夹角空间角，空间距离等问题．