Question

6．某城市理论预测2007年到2011年人口总数与年份的关系如表所示

年份2007+x（年）	0	1	2	3	4
人口数y（十万）	5	7	8	11	19

（1）请根据表提供的数据，求最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（2）据此估计2012年该城市人口总数．
参考公式：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x}\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$$，\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）先求出年份2007+x和人口数y的平均值，即得到样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，得到a的值，得到线性回归方程；
（2）当x=5代入回归直线方程，即可求得$\hat y=19.6$．

解答 解：（1）∵$\overline x=2，\overline y=10$，…2分
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132$，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}={0^2}+{1^2}+{2^2}+{3^2}+{4^2}=30$…4分
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline{xy}}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}=3.2，\hat a=\overline y-\hat b\overline x=3.6$…6分
故y关于x的线性回归方程为$\hat y=3.2x+3.6$；…8分
（2）当x=5时，$\hat y=3.2*5+3.6$，即$\hat y=19.6$…10分
据此估计2012年该城市人口总数约为196万…12分

点评 本题考查采用最小二乘法求线性回归方程及线性回归方程的简单应用，考查计算能力，属于基础题．