Question

6．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=AA₁=2，AB=2$\sqrt{3}$ E，F，G分别是A₁C₁，BC，AA₁的中点．
（1）证明：平面AEB⊥平面BB₁CC₁
（2）证明：C₁F∥平面ABE
（3）求三棱锥C₁-B₁GF的体积．

Answer 1

分析 （1）由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁得B₁B⊥平面ABC，从而有B₁B⊥BC，由AB，BC，AC的长度可得AB⊥BC，可证AB⊥平面B₁BC，推出平面AEB⊥平面BB₁C₁C；
（2）取AB中点D，连结DF，DE，由中位线定理可得DF∥AC，DF=$\frac{1}{2}$AC，又因为EC₁∥AC，EC₁=$\frac{1}{2}$AC，故而四边形EDFC₁是平行四边形，所以C₁F∥DE，推出C₁F∥平面ABE
（3）取B₁B中点M，B₁C₁中点N，连结GM，FN，则GM⊥平面BB₁C₁C，即GM为棱锥的高，底面B₁C₁F是等腰三角形，代入体积公式计算即可．

解答 证明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴B₁B⊥平面ABC，∵BC?平面ABC，
∴B₁B⊥BC，
∵AC=4，CB=2，AB=2$\sqrt{3}$，
∴BC²+AB²=AC²，即AB⊥BC，
又∵B₁B?平面面BB₁C₁C，BC?平面BB₁C₁C，B₁B∩BC=B，
∴AB⊥平面BB₁C₁C，∵AB?平面AEB，
∴平面AEB⊥平面BB₁C₁C．
（2）取AB中点D，连结DF，DE，
则DF是△ABC的中位线，∴DF∥AC，DF=$\frac{1}{2}$AC，
∵四边形A₁ACC₁是平行四边形，E是A₁C₁的中点，
∴EC₁∥AC，EC₁=$\frac{1}{2}$AC，
∴EC₁∥DF，EC₁=DF，
∴四边形EDFC₁是平行四边形，
∴C₁F∥DE，∵DE?平面ABE，C₁F?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE．
（3）取B₁B中点M，B₁C₁中点N，连结GM，FN，
则GM∥AB，GM=AB=2$\sqrt{3}$，FN⊥B₁C₁，FN=A₁A=2，B₁C₁=BC=2
∵AB⊥平面BB₁C₁C，
∴GM⊥平面BB₁C₁C，
∴V${\;}_{棱锥{C}_{1}-{B}_{1}GF}$=V${\;}_{棱锥G-{B}_{1}{C}_{1}F}$=$\frac{1}{3}$•S${\;}_{△{B}_{1}{C}_{1}F}$•GM=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•B₁C₁•FN•GM=$\frac{1}{3}$$•\frac{1}{2}$•2•2•2$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定和几何体体积，构造平行线和垂线是解题关键．