Question

（08年赤峰二中模拟理） 已知F₁(- 2, 0), F₂ (2, 0), 点P满足| PF₁| - | PF₂| = 2, 记点P的轨迹为E.

(Ⅰ) 求轨迹E的方程；

(Ⅱ) 若直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点,

①无论直线l绕点F₂怎样转动, 在x轴上总存在定点M(m, 0), 使MP ^ MQ恒成立, 求实数m的值;

②过P、Q作直线x =的垂线PA、QB, 垂足分别为A、B, 记l =, 求l的取值范围.

Answer 1

解析：(Ⅰ)由| PF₁| - | PF₂| = 2 < | F₁F₂| , 知点P的轨迹E是以F₁, F₂为焦点的双曲线右支,

由c = 2, 2a = 2, 得b² = 3,

故轨迹E的方程为x² -= 1(x ³ 1).     

(Ⅱ)当直线l的斜率存在时, 设直线方程为y = k(x - 2), P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂),

由,   得: (k² - 3)x² - 4k²x + 4k² + 3 = 0,

∴, 解得k² > 3,                         

①

   = (x₁ - m)(x₂ - m) +y₁y₂

   = (k² +1)x₁x₂ - (2k² + m)(x₁ + x₂) + m² + 4k²

=+ m²,

∵ MP ^ MQ,

∴= 0,

故3(1 - m²) + k²(m² - 4m -5) = 0对任意的k² > 3恒成立,

∴ , 解得m = - 1,

∴ 当m = - 1时, MP ^ MQ,      

当直线l的斜率不存在时, 由P(2, 3), Q(2, - 3)及M(- 1, 0), 知结论也成立,

综上, 当m = - 1时, MP ^ MQ.                                   

② ∵ a = 1, c = 2,

∴ 直线x =是双曲线右准线,

由双曲线定义得 | PA | =| PF₂ | =| PF₂ | , | QB | =| QF₂ |,

∴

∵ k² > 3,

∴ , 故,

注意到直线l的斜率不存在时, |PQ| = |AB|, 此时l =.

        综上, l Î .