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16.已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{10}cosα}\\{y=1+\sqrt{10}sinα}\end{array}\right.$(α为参数),以直角坐标系原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹.
(2)若直线的极坐标方程为sinθ-cosθ=$\frac{1}{ρ}$,求直线被曲线C截得的弦长.

分析 (1)由sin2α+cos2α=1,能求出曲线C的普通方程,再由ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y,能求出曲线C的极坐标方程,由此得到曲线C是以(3,1)为圆心,以$\sqrt{10}$为半径的圆.
(2)先求出直线的直角坐标为x-y+1=0,再求出圆心C(3,1)到直线x-y+1=0的距离d,由此能求出直线被曲线C截得的弦长.

解答 解:(1)∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{10}cosα}\\{y=1+\sqrt{10}sinα}\end{array}\right.$(α为参数),
∴由sin2α+cos2α=1,
得曲线C的普通方程为(x-3)2+(y-1)2=10,
即x2+y2=6x+2y,
由ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y,
得曲线C的极坐标方程为ρ2=6ρcosθ+2ρsinθ,
即ρ=6cosθ+2sinθ,
它是以(3,1)为圆心,以$\sqrt{10}$为半径的圆.
(2)∵直线的极坐标方程为sinθ-cosθ=$\frac{1}{ρ}$,
∴ρsinθ-ρcosθ=1,
∴直线的直角坐标为x-y+1=0,
∵曲线C是以(3,1)为圆心,以r=$\sqrt{10}$为半径的圆,
圆心C(3,1)到直线x-y+1=0的距离d=$\frac{|3-1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$,
∴直线被曲线C截得的弦长|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{10-\frac{9}{2}}$=$\sqrt{22}$.

点评 本题考查曲线的极坐标方程的求法,考查直线被圆截得的弦长的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意极坐标方程、普通方程、参数方程互化公式的合理运用.

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