Question

设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）为平面直角坐标系上的两点，其中x_A，y_A，Bx_B，y_B∈Z．令△x=x_B-x_A，△y=y_B-y_A，若|△x|+|△y=3，且|△x|-|△y|≠0，则称点B为点A的“相关点”，记作：B=i（A）．
（Ⅰ）请问：点（0，0）的“相关点”有几个？判断这些点是否在同一个圆上，若在，写出圆的方程；若不在，说明理由；
（Ⅱ）已知点H（9，3），L（5，3），若点M满足M=i（H），L=i（M），求点M的坐标；
（Ⅲ）已知P₀（x₀，y₀）（x₀∈Z，Y₀∈Z）为一个定点，点列{P_i}满足：P_i=i（P_i-1），其中i=1，2，3，…，n，求|P₀P_n|的最小值．

Answer 1

解：（I）因为|△x|+|△y=3，且|△x|-|△y|≠0，|△x|与|△y|为非零整数，
故|△x|=1，|△y|=2；或|△x|=2，|△y|=1，所以点（0，0）的“相关点”有8个，
分别为：（1，2）、（1，-2）、（-1，2）、（-1，-2）、（2，1）、（2，-1）、
（-2，1）、（-2，-1）．…（1分）
又因为 （△x）²+（△y）²=5，即+=5，
所以，这些可能值对应的点在以（0，0）为圆心，以为半径的圆上．…（3分）
（II）设M（x_M，y_M），因为M=i（H），L=i（M），
所以有|x_M-9|+|y_M-3|=3，|x_M-5|+|y_M-3|=3，…（5分）
所以|x_M-9|=|x_M-5|，所以x_M=7，故y_M=2 或 y_M=4，
所以M（7，2），或M（7，4）．…（7分）
（III）当n=2k，且 k∈N^* 时，|P₀P_n|的最小值为0．例如：P₀（x₀，y₀ ），
P₁ （x₀+1，y₀ ），P₂（（x₀，y₀ ），显然，P₀=i（P₁），P₁=i（P₂），此时，|P₀P₂|=0．…（8分）
当n=1时，可知，|P₀P_n|的最小值为 ．…（9分）
当n=3 时，对于点P，按照下面的方法选择“相关点”，可得P₃（x₀，y₀+1）：
由P₀（x₀，y₀ ），依次找出“相关点”分别为P₁（x₀+2，y₀+1），P₂（x₀+1，y₀+3），P₃（x₀，y₀+1）．
此时，|P₀P₃|=1，故|P₀P_n|的最小值为1．…（11分）
然后经过3次变换回到P₃（x₀，y₀+1），故|P₀P_n|的最小值为1．
当n=2k+1，k＞1，k∈N^* 时，经过2k次变换回到初始点P₀（x₀，y₀ ），
故经过2k+1次变换回到P₃（x₀，y₀+1），故|P₀P_n|的最小值为1．
综上，当 n=1 时，|P₀P_n|的最小值为．
当当n=2k，k∈N^* 时，|P₀P_n|的最小值为0，
当n=2k+1，k∈N^* 时，|P₀P_n|的最小值为1． …（13分）
分析：（I）由题意可得|△x|=1，|△y|=2；或|△x|=2，|△y|=1，由此可得点（0，0）的“相关点”有8个．再根据+=5，可得这些可能值对应的点在以（0，0）为圆心，以为半径的圆上．
（II）设M（x_M，y_M），由条件推出|x_M-9|+|y_M-3|=3，|x_M-5|+|y_M-3|=3，由此求得点M的坐标．
（III） 分当n=1、当n=2k，当n=2k+1，且 k∈N^* 时，三种情况，分别求得|P₀P_n|的最小值，综合可得结论．
点评：本题主要考查圆的方程，两点间的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．