Question

（2012•广东模拟）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是

2

3

和

3

4

假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
（1）求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；
（2）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？
（3）设甲连续射击3次，用ξ表示甲击中目标时射击的次数，求ξ的数学期望Eξ．（结果可以用分数表示）

Answer 1

分析：（1）求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率，考虑其对立事件的概率即可；
（2）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C，根据题意，必然乙是最后两次未击中目标，第一次及第二次至多次有一次未击中目标，结合概率的计算公式，计算可得答案；
（3）ξ服从二项分布，根据期望公式即可求得，或者先求分布列，再求期望．

解答：解：（1）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A₁，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P（A₁）=1-P（

.

A1

）=1-(

2

3

)3=

19

27

ξ	0	1	2	3
p	1 27	6 27	12 27	8 27

答：甲射击3次，至少1次未击中目标的概率为

19

27

；…（4分）
（2）记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A₂，由于各事件相互独立，
故P（A₂）=

1

4

×

1

4

×

3

4

×

1

4

+

1

4

×

1

4

×

3

4

×

3

4

=

3

64

，
答：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是

3

64

…（8分）
（3）根据题意ξ服从二项分布，Eξ=3×

2

3

=2…（12分）
（3）方法二：p(ξ=0)=

C

0 3

•(

1

3

)3=

1

27

p(ξ=1)=

C

1 3

•(

2

3

)•(

1

3

)2=

6

27

p(ξ=2)=

C

2 3

•(

2

3

)2•(

1

3

)1=

12

27

p(ξ=1)=

C

3 3

•(

2

3

)3•(

1

3

)0=

8

27

∴Eξ=0×

1

27

+1×

6

27

+2×

12

27

+3×

8

27

=2…（12分）
说明：（1），（2）两问没有文字说明分别扣（1分），没有答，分别扣（1分）．
第（3）问方法对，算错数的扣（2分）

点评：本题考查相互独立事件的概率的乘法公式与n次重复试验中恰有k次发生的概率，考查随机变量的期望，解题的关键是明确事件之间的相互关系（互斥、对立等）．