当n为正整数时.定义函数N (n)表示n的最大奇因数．如N =5.-．记S+-+N(2n)．则=8686．=4n+23．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2ⁿ）．则（1）S（4）=

．（2）S（n）=

4n+2

．

分析：（1）由题设知，N（2n）=N（n），N（2n-1）=2n-1．S（4）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（15）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]=[1+3+5+…+15]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]．由此能求出S（4）．
（2）由S（n）=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（2ⁿ）]，知S（n）=4^n-1+S（n-1）（n≥1），由此能推导出S(n)=4n-1+4n-2+…+41+40+1=

4n+2

．

解答：解：（1）由题设知，N（2n）=N（n），N（2n-1）=2n-1．
S（4）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（15）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]
=[1+3+5+…+15]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]
=4³+S（3）
=4³+4²+S（2）
=4³+4²+4¹+S（1）=86．
（2）S（n）=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（2ⁿ）]，
∴S（n）=4^n-1+S（n-1）（n≥1），
又S₁=N（1）=1，
∴S(n)=4n-1+4n-2+…+41+40+1=

4n+2

．

点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比当选列的前n项和公式、通项公式的灵活运用，注意总结规律，认真解答．

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科目：高中数学 来源： 题型：

当n为正整数时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如：N（3）=3，N（10）=5，记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2ⁿ），则
（1）S（3）=

．
（2）S（n）=

4n+2

．

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科目：高中数学 来源： 题型：

定义：设函数y=f（x）在（a，b）内可导，f'（x）为f（x）的导数，f''（x）为f'（x）的导数即f（x）的二阶导数，若函数y=f（x）在（a，b）内的二阶导数恒大于等于0，则称函数y=f（x）是（a，b）内的下凸函数（有时亦称为凹函数）．已知函数f（x）=xlnx
（1）证明函数f（x）=xlnx是定义域内的下凸函数，并在所给直角坐标系中画出函数f（x）=xlnx的图象；
（2）对?x₁，x₂∈R⁺，根据所画下凸函数f（x）=xlnx图象特征指出x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]与x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]的大小关系；
（3）当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），若