Question

1．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C₁：x²+y²+6x-2y+6=0和圆C₂：x²+y²-8x-10y+37=0若直线l过点A（4，0），且被圆C₁截得的弦长为2$\sqrt{3}$，
（1）求直线l的方程
（2）求圆C₂上的点到直线l的最远距离．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，利用l被⊙C₁截得的弦长为2$\sqrt{3}$，d=$\sqrt{4-3}$=1=$\frac{|1-k（-3-4）|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，即可求直线l的方程
（2）分类讨论，求圆C₂上的点到直线l的最远距离．

解答 解：（1）∵圆C₁：x²+y²+6x-2y+6=0，即（x+3）²+（y-1）²=4，
由于直线x=4与圆C₁不相交；
∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x-4）
圆C₁的圆心到直线l的距离为d，
∵l被⊙C₁截得的弦长为2$\sqrt{3}$
∴d=$\sqrt{4-3}$=1=$\frac{|1-k（-3-4）|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
从而k（24k+7）=0，即k=0或k=-$\frac{7}{24}$
∴直线l的方程为：y=0或7x+24y-28=0
（2）∵圆C₂：（x-4）²+（y-5）²=4，
当直线l为y=0时：最远距离为d=5+2=7，
当直线l为7x+24y-28=0时，最远距离d=$\frac{|28+120-28|}{\sqrt{49+576}}$+2=$\frac{34}{5}$．

点评 本题考查直线方程，考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．