Question

已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在抛物线上．
（1）求抛物线方程及准线方程；
（2）若点M（2，0）在AB上，求x₁x₂、y₁y₂的值．

Answer 1

分析：（1）设抛物线的方程为y²=2px．由点P（1，2）在抛物线上，求出p=2．由此能求出抛物线的方程和准线方程．
（2）设AB的方程为y=k（x-2），由

y=k(x-2) y 2=4x

得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0，由此能求出x₁x₂和y₁y₂的值．

解答：解：（1）由已知条件，
可设抛物线的方程为y²=2px．
∵点P（1，2）在抛物线上，
∴2²=2p×1，解得p=2．
故所求抛物线的方程是y²=4x，
准线方程是x=-1．
（2）∵点M（2，0）在AB上，
∴当直线AB的斜率k存在时，设AB的方程为y=k（x-2），
由

y=k(x-2) y 2=4x

，消去y，得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0，
∴x1x2=

4k2

k2

=4，x1+x2=

4k2+4

k2

，
y₁y₂=k（x₁-2）•k（x₂-2）
=k²x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²
=8k²-2k2×

4k2+4

k2

=-8．
当直线AB的斜率k不存在时，直线AB的方程为：x=2，
它与抛物线y²=4x交于A（2，2

2

），B（2，-2

2

），
x₁x₂=2×2=4，y₁y₂=2

2

×(-2

2

)=-8．
综上所述：x₁x₂=4，y₁y₂=-8．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．