Question

2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA、PB送到矩形灾民区AB-CD中去，已知PA=100 km．PB=150 km．BC=60 km，∠APB=60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．

Answer 1

解：矩形灾民区ABCD 中的点可分为三类，
第一类沿道路PA 送药较近，
第二类沿道路PB 送药较近，
第三类沿道路PA 和PB 送药一样远近．
依题意，界线是第三类点的轨迹．
设M为界线上的任一点，则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|，|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50（定值）．  
∴界线是以A、B为焦点的双曲线的右支的一部分．    
如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
设所求双曲线方程的标准形式为(a>0，b>0)，
∵ a= 25,2c=|AB|
,b² =c²-a²=3750,
故双曲线的标准方程为
注意到点C的坐标为，故y的最大值为60，
此时x=35，故界线的曲线方程为(25≤x≤35,y>0)．