Question

已知α，β都是锐角，sinα=

4

5

，cos（α+β）=

5

13

．
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求sinβ的值．

Answer 1

考点：二倍角的正切

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由已知和同角三角函数关系式可先求cosα，tanα的值，由二倍角的正切公式即可求tan2α的值．
（Ⅱ）由已知先求得sin（α+β）的值，根据sinβ=sin[（α+β）-α]，由两角差的正弦公式展开代入即可求值．

解答： （10分）
解：（Ⅰ）∵α∈（0，

π

2

），sinα=

4

5

，
∴cosα=

1-sin2α

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

∴tanα=

sinα

cosα

=

4

3

∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=-

24

7

．
（Ⅱ）∵α，β∈（0，

π

2

），∴α+β∈（0，π），cos（α+β）=

5

13

∴sin（α+β）=

12

13

∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
=

12

13

×

3

5

-

5

13

×

4

5

=

16

65

．

点评：本题主要考查了二倍角的正切公式，同角三角函数关系式，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．