Question

已知定义在R上的二次函数R(x)＝ax²＋bx＋c满足，且R(x)的最小值为0，函数h(x)＝lnx，又函数f(x)＝h(x)－R(x)．

(Ⅰ)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)当a≤时，若x₀∈[1，3]，求f(x₀)的最小值；

(Ⅲ)若二次函数R(x)图象过(4，2)点，对于给定的函数f(x)图象上的点A(x₁，y₁)，当时，探求函数f(x)图象上是否存在点B(x₂，y₂)(x₂＞2)，使A、B连线平行于x轴，并说明理由．(参考数据：e＝2.71828…)

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ) 　　可得 　　又在x＝0时取得最小值0， 　　 　　令 　　当x变化时，，的变化情况如下表： 　　所以，的单调递增区间是(0，)，的单调递减区间是(，＋)　　5分 　　(Ⅱ)≤时，≥1， 　　时，的最小值为与中的较小者　　7分 　　又 　　≤时，的最小值； 　　当时，的最小值　　9分 　　(Ⅲ)证明：若二次函数图象过(4，2)点，则，所以 　　令 　　由(Ⅰ)知在(0，2)内单调递增， 　　故　　11分 　　取则 　　所以存在 　　即存在 　　所以函数图象上存在点B()()，使A、B连线平行于x轴　　14分 　　(说明：的取法不唯一，只要满足＞2，且即可)