Question

【题目】在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：

题号	1	2	3	4	5
考前预估难度	0.9	0.8	0.7	0.6	0.4

测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：

题号	1	2	3	4	5
实测答对人数	16	16	14	14	8

（1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；

（2）从抽取的20名学生中再随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望；

（3）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度（）.规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.试据此判断本次测试的难度预估是否合理.

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【答案】（1）96人（2）见解析，（3）该次测试的难度预估是合理的.

【解析】

(1)由20人中答对第5题的人数为8人，求出实测难度，再估计240人中实测答对人数；(2)由X的可能取值分别求出相应的概率，再求X的分布列和数学期望；(3)将抽样的20名学生中第i题的实测难度作为240名学生第i题的实测难度，由题设条件推出该次测试的难度预估是否合理.

（1）因为20人中答对第5题的人数为8人，因此第5题的实测难度为.

所以，估计240人中有人实测答对第5题.

（2）的可能取值是0，1，2.

；；.

的分布列为：

	0	1	2

.

（3）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度.则

.

因为，

所以，该次测试的难度预估是合理的.

Answer 1

【答案】（1）96人（2）见解析，（3）该次测试的难度预估是合理的.

【解析】

(1)由20人中答对第5题的人数为8人，求出实测难度，再估计240人中实测答对人数；(2)由X的可能取值分别求出相应的概率，再求X的分布列和数学期望；(3)将抽样的20名学生中第i题的实测难度作为240名学生第i题的实测难度，由题设条件推出该次测试的难度预估是否合理.

（1）因为20人中答对第5题的人数为8人，因此第5题的实测难度为.

所以，估计240人中有人实测答对第5题.

（2）的可能取值是0，1，2.

；；.

的分布列为：