Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a，b∈R满足下列关系式：f（a•b）=af（b）+bf（a），f（2）=2，an=

f(2n)

2n

(n∈N*)，bn=

f(2n)

n

(n∈N*)．考察下列结论：①f（0）=f（1）； ②f（x）为偶函数；③数列{a_n}为等差数列；④数列{b_n}为等比数列．其中正确的结论有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：①令x=y=0，得f（0）=f（0•0）=0，令x=y=1得f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0，可知正确；
②用特例，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），故f（x）不是偶函数，
③f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ，有b_n=b_n-1+1，符合等差数列定义；
④b₁═1，b_n=1+（n-1）×1=n，f（2ⁿ）=2ⁿb_n=n2ⁿ，a_n═2ⁿ，故数列{a_n}是等比数列．

解答：解：∵f（0）=f（0•0）=0，f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0，①正确；
f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），
∴f（-1）=0，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），
故f（x）不是偶函数，
故②错；
则f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ，
∴b_n=b_n-1+1，∴{b_n}是等差数列，④正确；
b₁═1，b_n=1+（n-1）×1=n，f（2ⁿ）=2ⁿb_n=n2ⁿ，a_n═2ⁿ，
故数列{a_n}是等比数列，③正确．
故选C．

点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了函数的奇偶性，赋值法，等差数列，等比数列的定义及通项．