Question

17．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosx，sinx）和$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$-sinx，cosx）．
（1）设f（x）=$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$，求函数y=f（$\frac{π}{3}$-2x）的最小正周期和对称轴方程；
（2）若x∈[π，2π]，求|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积即可化简f（x），再求出y=f（$\frac{π}{3}$-2x）的函数解析式，根据定义即可求出最小正周期和对称轴方程；
（2）先平方得到|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|²=-4sin（x+$\frac{π}{4}$）+2，再根据三角形函数的性质即可求出最小值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cosx，sinx）和$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$-sinx，cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{2}$cosx-cosxsinx+sinxcosx=$\sqrt{2}$cosx，
∴y=f（$\frac{π}{3}$-2x）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{3}$-2x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{3}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，对称轴2x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈z，即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈z，
∴函数y=f（$\frac{π}{3}$-2x）的最小正周期为π，对称轴方程x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈z；
（2）$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$=（cosx-$\sqrt{2}$+sinx，sinx-cosx），
∴|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|²=（cosx-$\sqrt{2}$+sinx）²+（sinx-cosx）²=-4sin（x+$\frac{π}{4}$）+2，
∵x∈[π，2π]，
∴当x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$，即x=$\frac{5π}{4}$时，-4sin（x+$\frac{π}{4}$）+2有最大值为4+2=6，
∴|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算以及三角函数的性质，属于中档题．