Question

设函数f（x）定义在R上，f（0）≠0，且对于任意a，b∈R，都有f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）．
（1）求证：f（x）为偶函数；
（2）若存在正数m使f（m）=0，求证：f（x）为周期函数．

Answer 1

分析：（1）先根据f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）得到f（-x）=f（x），从而很容易得到函数f（x）的奇偶性．
（2）问题就是要证：存在T≠0，使f（x+T）=f（x）恒成立，可T为何值呢？T与 m又有何关系？不难发现一个特殊函数f（x）=cosx满足题设条件，且cos0=1，而f(

π

2

)=0，又y=cosx为周期函数且周期为2π，它是

π

2

的4倍，于是猜想f（x）是以4m为周期的周期函数．故在条件式中令a=m，b=x，得到证明．

解答：解：（1）令a=b=0，得2f（0）=2f²（0）．
∵f（0）≠0，∴f（0）=1．
又令a=0，b=x，则f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），
∴f（-x）=f（x），即f（x）为偶函数．
（2）问题就是要证：存在T≠0，使f（x+T）=f（x）恒成立，可T为何值呢？T与 m又有何关系？不难发现一个特殊函数f（x）=cosx满足题设条件，且cos0=1，而f(

π

2

)=0，又y=cosx为周期函数且周期为2π，它是

π

2

的4倍，于是猜想f（x）是以4m为周期的周期函数．故在条件式中令
a=m，b=x，则f（m+x）+f（m-x）=2f（m）f（x）=0，故f（m+x）=-f（m-x）．
令x取m+x，则
f（2m+x）=-f（-x）=-f（x）．
∴f（4m+x）=-f（2m+x）=-（-f（x））=f（x），得证．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用．对抽象的问题或一般性难以解决的问题，不妨剖析一个特殊情形，进而可望从结论或方法上得到某种启发，亦可构造一个满足条件的特殊模型，从中发现寓于一般情形之中的隐含性质．