Question

【题目】设a1 ， a2 ， …，an为1，2，…，n按任意顺序做成的一个排列，fk是集合{ai|ai＜ak ， i＞k}元素的个数，而gk是集合{ai|ai＞ak ， i＜k}元素的个数（k=1，2，…，n），规定fn=g1=0，例如：对于排列3，1，2，f1=2，f2=0，f3=0
（I）对于排列4，2，5，1，3，求
（II）对于项数为2n﹣1 的一个排列，若要求2n﹣1为该排列的中间项，试求的最大值，并写出相应得一个排列
（Ⅲ）证明=

Answer 1

【答案】解：（I）∵排列4，2，5，1，3，
fk是集合{ai|ai＜ak ， i＞k}元素的个数，
∴f1=3，f2=1，f3=2，f4=0，f5=0，
∴=3+1+2+0+0=6．
（II）当项数为2n﹣1 的一个排列，
2n﹣1为该排列的中间项，前面有n项，后面有n项，
∴要求的最大值，只要使得排列满足n到2n﹣2排列到2n﹣1的前面，1到n﹣1排列到2n﹣1的后面，
∴g1=0，g2=1，g3=2，…g2n﹣1=2n﹣2，
∴的最大值是=（2n﹣1）（n﹣1）
比如举一个包含7项的数列：6，5，4，7，3，2，1
（III）∵fk是集合{ai|ai＜ak ， i＞k}元素的个数，
而gk是集合{ai|ai＞ak ， i＜k}元素的个数（k=1，2，…，n），
规定fn=g1=0，
∴fn﹣1=g2
fn﹣2=g3
…
∴f1=gn ．
∴=
【解析】（I）直接按定义来操作，根据fk是集合{ai|ai＜ak ， i＞k}元素的个数，看出符合条件的元素的个数，得到结果．
（II）（II）当项数为2n﹣1 的一个排列，2n﹣1为该排列的中间项，前面有n项，后面有n项，要求的最大值，只要使得排列满足n到2n﹣2排列到2n﹣1的前面，1到n﹣1排列到2n﹣1的后面，得到结果．
（III）fk是集合{ai|ai＜ak ， i＞k}元素的个数，而gk是集合{ai|ai＞ak ， i＜k}元素的个数（k=1，2，…，n），规定fn=g1=0，依次得到fn﹣1=g2 ， …，得到各项之和相等．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．