Question

14．数列{a_n}满足${a_1}=3，\frac{1}{{{a_n}+1}}-\frac{1}{a_n}=5（{n∈{N_+}}）$，则a_n=$\frac{3}{15n-14}$．

Answer 1

分析 由题意可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项，以5为公差的等差数列，根据等差数列通项公式即可求得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{5n-14}{3}$，即可求得a_n．

解答 解：由$\frac{1}{{a}_{n}+1}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=5，$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$为首项，以5为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$+5（n-1）=$\frac{5n-14}{3}$，
∴a_n=$\frac{3}{5n-14}$，
数列{a_n}的通项公式为：a_n=$\frac{3}{5n-14}$，
故答案为：$\frac{3}{15n-14}$．

点评 本题考查等差数列通项公式的求法，考查等差数列的定义，考查转化思想，属于中档题．