Question

11．证明：长方体的四条体对角线交于一点，且这点为其外接球的球心．

Answer 1

分析 以下底面ABCD的顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA₁所在直线为z轴，建立坐标系，由中点坐标公式可以求得A₁C，AC₁，BD₁，B₁D的中点都是（$\frac{1}{2}a$，$\frac{1}{2}b$，$\frac{1}{2}c$），即可证明结论．

解答 证明：以下底面ABCD的顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA₁所在直线为z轴，建立坐标系，设长AD=a，宽AB=b，高AA₁=c
则可分别求得A（0，0，0），B（b，0，0），C（b，a，0），D（0，a，0），A₁（0，0，c），B₁（b，0，c），C₁（b，a，c），D₁（0，a，c），
由中点坐标公式可以求得A₁C，AC₁，BD₁，B₁D的中点都是（$\frac{1}{2}a$，$\frac{1}{2}b$，$\frac{1}{2}c$），
所以长方体的四条对角线交于一点，且这点为其外接球的球心．

点评 本题考查利用空间坐标系证明几何问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．