Question

已知在()ⁿ的展开式中，第6项为常数项.

(1)求n；

(2)求含x²的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项.

Answer 1

解析：(1)通项公式为T_r+1=.

∵第6项为常数项,

∴r=5时有=0,即n=10.

(2)令=2,得r=(n-6)=2,

∴所求的系数为 (-3)²=405.

(3)根据通项公式，由题意得

令=k(k∈Z),

则10-2r=3k,即r=5-k.

∵r∈Z,∴k应为偶数.

∴k可取2，0，-2,即r可取2,5,8.

∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为(-3)²x²,(-3)⁵,·(-3)⁸x^-2.

小结：(1)本题是先求二项式的指数，再求与通项有关的其他问题.一般地，解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数〔求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件(n、r均为非负整数，n≥r)〕；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.此外，解本题时，为减少计算中的错误，宜把根式化为分数指数幂.

(2)题设展开式中有常数项的条件，实际上隐含了未知数的零次项的存在，所以n-2r=0，因此，由有常数项的条件可求得n.反之，若已知n，求展开式中常数项时，可先假设展开式的第r+1项为常数项，合并通项公式中同一字母的指数得f(r),然后令f(r)=0,从中求得r的非负整数值，即得所求的项.

(3)所谓求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项.解这类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数.求解方式与求有理项一致.

(4)由本题的第(2)题知，二项式系数与系数是两个不同的概念，本题中x²项的系数为405，而x²项的二项式系数为=45，初学者要能区别，切不可混淆.