Question

若 P为椭圆

x2

25

+

y2

16

=1上任意一点，F₁、F₂为左、右焦点，如图所示．
（1）若PF₁的中点为M，求证：|MO|=5-

1

2

|PF1|；
（2）若∠F1PF2=600，求|PF₁|•|PF₂|之值；
（3）椭圆上是否存在点P，使

PF1

•

PF2

=0，若存在，求出P点的坐标，若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）在△F₁PF₂中，MO为中位线，根据三角形的中位线定理再结合椭圆的定义即可得出答案；
（2）先利用椭圆的定义得到：|PF₁|+|PF₂|=10，再在△PF₁F₂中利用余弦定理得出cos 60°=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

，两者结合即可求得|PF₁|•|PF₂|；
（3）先设点P（x₀，y₀），根据椭圆的性质，易知F₁（-3，0），F₂（3，0），写出向量的坐标再结合向量垂直的条件得出关于P点坐标的方程组，由此方程组无解，故这样的点P不存在．

解答：证明：（1）在△F₁PF₂中，MO为中位线，
∴|MO|=

|PF2|

2

=

2a-|PF1|

2

=a-

|PF1|

2

=5-

1

2

|PF₁|…．（3分）
（2）解：∵|PF₁|+|PF₂|=10，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=100-2|PF₁|•|PF₂|，
在△PF₁F₂中，cos 60°=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

，
∴|PF₁|•|PF₂|=100-2|PF₁|•|PF₂|-36，
∴|PF₁|•|PF₂|=

64

3

．…（8分）
（3）解：设点P（x₀，y₀），则 

x02

25

+

y02

16

=1．①
易知F₁（-3，0），F₂（3，0），故

PF1

=（-3-x₀，-y₀），

PF2

=（3-x₀，-y₀），
∵

PF1

•

PF2

=0，
∴x

2 0

-9+y

2 0

=0，②
由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P不存在． …（12分）

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．